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信号(signal)

我们在生活中经常遇到信号。比如说,股票的走势图,心跳的脉冲图等等。在通信领域,GPS、手机语音、收音机、互联网通信,我们发送和接收的都是信号。最近,深圳地铁通信系统疑似与WiFi信号冲突,也就是地铁的天线收到了WiFi的信号,而误把该信号当作地铁通信信号。我们的社会信息化是建立在信号基础上的。

信号是随着时间或空间变化的序列。在信号处理中,我们常用“信号”来特指一维信号,也就是只随单个时间或空间维度变化的序列,这样的信号在数学上可以表示成f(t)或者f(x)这样一个函数。与一维信号形成对应的是多维信号,比如说图像是二维信号,它随x,y两个空间维度变化,从数学上表示为f(x,y)。下面在没有特别声明的情况下,都使用“信号”来代指一维信号。

尽管信号的使用如此广泛,但信号从数学意义上并没有什么神秘的地方,只是普通的序列(函数)。信号处理的方法可以通用于任何领域(无论是通信、金融还是其他领域),这也是信号处理的魅力所在。

简谐波(simple harmonic)

正弦波(sine wave)和余弦波(cosine wave)统称为简谐波。简谐波是自然界最常见的波。

正弦波可以写成函数:

可以看到三个参数:振幅(A, amplitude)、频率(f,frequency)、相位(phi, phase)。这三个参数分别控制正弦波的不同特征。通过调整它们,我们可以得到不同的正弦波信号。

可以看到:频率越高,山峰越密集;振幅越高,山峰越高;相位改变山峰的位置。

余弦波(cosine wave)函数形式与正弦波类似,用cos表示。我们可以通过改变正弦波来从正弦波获得余弦波。

傅立叶变换 (Fourier Transform)

傅里叶是一名工程师,他发现,任何信号实际上都可以通过简谐波相加近似得到,也就是傅立叶定理(Fourier inversion theorem)。因此,复杂的信号可以分解成许多简单的简谐波。组成信号的某个简谐波,称为信号的一个分量(component)。

比如下图,显示了我们如何用简谐波的叠加来不断趋近蓝色的信号:

傅里叶变换是一套固定的计算方法,用于算出信号的各个分量。在信号处理时,可以将信号进行傅里叶变换,转换为简谐波的组合。通过分别控制各个频率上的简谐波分量,我们可以更加有效的进行信号处理。比如说,我们通信的时候可以使用高频的简谐波信号,但是接收信号的天线可能会收到其他频率的干扰信号。这个时候,我们可以对接收到的混合信号做傅里叶变化,只提取目标高频的分量。这是降低信号噪音的常用方法。傅里叶变换的过程有些复杂,但已经有大量的程序可以帮你进行。你所需要的只是输入信号,计算机会帮你算出它的各个分量。

比如说,如果信号f(x)是周期性的,我们可以将它变换成:

也就是说,一个信号可以看做许多简谐波的和。上面的a,b可以通过原信号求得:

a, b代表了信号在各个频率上的简谐波分量的强弱(以及相位)。这样,信号就分解成简谐波的和。由于简谐波比较容易理解,我们可以通过研究这些分量,来明白复杂信号背后的机制。

频谱(frequency spectrum)

通过傅立叶变换,我们可以得到一个信号f(t)的不同频率的简谐波分量。每个分量的振幅,代表了该分量的强弱。将各个频率分量的强弱画出来,可以得到信号的频谱。比如下图是从每天降水序列中得到的频谱:

可以看到,以1年为周期的简谐波分量有一个明显的高峰,因为降水总是以一年四季为周期有规律的变化。我们可以从简谐波分量的角度理解复杂信号是由哪些简谐机制合成的。